DIFERENTES TIPOS DE PROBLEMAS

A seleção de diferentes tipos de problemas não pretende ser uma classificação, nem esgotar as formas que um problema não-convencional pode ter. Nosso objetivo é simplesmente auxiliar o trabalho em sala de aula e, especialmente, permitir ao professor que possa identificar dificuldades ou evitar que elas existam entre seus alunos ao trabalhar com resolução de problemas.

Problemas sem solução

Trabalhar com esse tipo de problema rompe com a concepção de que os dados apresentados devem ser usados na sua resolução e de que todo problema tem solução. Além disso, ajudar a desenvolver no aluno a habilidade de aprender a duvidar, a qual faz parte do pensamento crítico. Observemos os exemplos:

Um menino possui 3 carrinhos com 4 rodas em cada um. Qual a idade do menino?

Nesse tipo de problema, é comum que os alunos utilizem os números 3 e 4 para fazer uma "conta" e tentar encontrar, de qualquer maneira, a idade do menino. Isto ocorre, freqüentemente, porque eles estão habituados a resolver problemas convencionais, em que a única tarefa que desempenham é buscar um algoritmo para solucionar o problema, usando para isso os números apresentados no texto, sem analisá-los com maior atenção e reflexão.

Observe a seguinte resolução:

4 + 4 + 4 = 12

3 x 4 = 12

Esse é um problema sem solução, porque com os dados do texto não temos como saber a idade do menino, uma vez que faltam dados para que o problema possa ser resolvido. Vejamos um outro exemplo.

Como eu posso dividir igualmente 2 gatos entre 3 pessoas?

Nesse caso, o problema não tem solução porque a pergunta é inadequada ao contexto, isto é, a própria situação torna o problema impossíivel de ser resolvido. No entanto, 2 pode ser dividido por 3 se no texto do problema trocarmos gatos por barras de chocolate e, nesse caso, teríamos uma situação com solução possível.

É importante observar que uma mesma operação com os mesmos dados pode não gerar a mesma resposta por causa dos diferentes contextos. Contudo, podemos ter ainda outros casos de problemas sem solução por motivos diversos.

Monte uma pirâmide de base quadrada usando os 5 triângulos abaixo.

Esse é um exemplo de problema sem solução por causa de uma impossibilidade matemática, pois não conseguimos construir uma pirâmide de base quadrada com cinco triângulos iguais. Para isso, necessitamos de um quadrado e quatro triângulos iguais e adequados. Podemos propor aos alunos que tornem o problema possível, e uma alternativa é trocar um dos triângulos por um quadrado.

Os professores podem elaborar problemas sem solução para seus alunos, transformando os textos de alguns dos problemas convencionais encontrados nos livros didáticos. Isto pode ser feito trocando-se a pergunta de tal forma, que os dados impeçam a resposta ou a partir de uma mudança do contexto ou, ainda retirando-se alguns dados e incluindo-se condições extras que tornem a situação impossível de ser resolvida.

Por exemplo, o problema convencional:

Num parque de diversões estou na fila da montanha russa e na minha frente estão 300 pessoas. Os carrinhos saem de 25 em 25 segundos em média e cada um leva 4 pessoas. Quantos minutos ficarei na fila?

Pode transformar-se nos seguintes problemas sem solução:

Num parque de diversões estou na fila da montanha russa e na minha frente estão 300 pessoas. Os carrinhos saem de 25 em 25 segundos em média. Quantos minutos ficarei na fila?

Num parque de diversões estou na fila da montanha russa e na minha frente estão 300 pessoas. Os carrinhos saem de 25 em 25 segundos em média e cada um leva 4 pessoas. Quantos carrinhos estão nos trilhos da montanha russa?

Problemas com Mais de uma Solução

O uso desse tipo de problema nas aulas de matemática rompe com a crença de que todo problema tem uma única resposta, bem como com a crença de que há sempre uma maneira certa de resolvê-lo e que, mesmo quando há várias soluções, uma delas é a correta. Como vimos, nem todos os problemas têm solução e, quando tem, ela pode não ser única.

O trabalho com problemas com duas ou mais soluções faz com que o aluno perceba que resolvê-los é um processo de investigação do qual ele participa como ser pensante e produtor de seu próprio conhecimento. Vejamos alguns exemplos desse tipo de problema:

Dados seis quadrados iguais, construir uma planificação para o cubo.
Existem 11 possíveis soluções para esse problema e, em classe, os alunos podem ser incentivados a encontrar algumas delas.

Um outro exemplo:
Eu e você temos juntos 6 reais. Quanto dinheiro eu tenho?
Algumas resoluções possíveis são:

Organizar os dados em uma tabela:	Fazer um desenho:
Eu Você Total 0 6 6 1 5 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 1 6 6 0 6

De acordo com a série na qual é proposto, esse problema pode ter diferentes respostas. Em uma 1^a série, os alunos podem usar notas, moedas ou desenho para resolvê-lo. Em uma 2^a série, podem usar uma tabela. Já na 3^a ou 4^a séries, eles podem usar números decimais, aumentado em muito o número de respostas possíveis:

Eu: 0,10 + 0,50 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05

Você: 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 5,0

Eu e você: 0,10 + 0,50 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 5,0 = 6

Esses problemas também podem ser obtidos a partir de alguns textos de problemas convencionais, alterando-se algumas das condições do texto ou a pergunta. Por exemplo, usando o problema da montanha russa, podemos perguntar:

Num parque de diversões estou na fila da montanha russa e na minha frente estão 300 pessoas. Os carrinhos saem de 25 em 25 segundos em média e alguns carrinhos levam 4 pessoas e outros levam 6 pessoas. Quantos minutos ficarei na fila?

Problemas com Excesso de Dados

Nesses problemas, nem todas as informações disponíveis no texto são usadas em sua resolução.

Trabalhar com eles rompe com a crença de que um problema não pode permitir dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso, evidencia ao aluno a importância de ler, fazendo com que aprenda a selecionar dados relevantes para a resolução de um problema.

Esse tipo de problema aproxima-se de situações mais realistas que a aluno deverá enfrentar em sua vida, pois, na maioria das vezes, os problemas que se apresentam no cotidiano não são propostos de forma objetiva e concisa. Nesses casos, o resolvedor terá pela frente, em geral, uma situação confusa, cheia de infarmações supérfluas que devem ser identificadas e descartadas.

Para trabalhar com esse tipo de problema, a professor pode acrescentar alguns dados numéricos ou não a um problema convencional e explorar esse novo texto. Vejamos a exemplo abaixo:

Caio tinha 2 dúzias de bolinhas de gude. No final do jogo com Júnior, Caio perdeu um quarto de suas bolinhas e Júnior ficou com o triplo de bolinhas de Caio. Quantas bolinhas Júnior tinha no início do jogo?

Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos os dias acorda as 8 horas, toma o seu café e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio levou 2 dúzias de bolinhas coloridas para jogar. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas bolinhas e Júnior ficou muito contente, pois agora tinha o triplo de bolinhas de Caio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?

Nos dois problemas, a estrutura matemática de resolução é exatamente a mesma; porém, na segunda versão há uma série de dados desnecessários que devem ser descartados para a resolução.

Também há características desse tipo naqueles problemas que envolvem uma história e que, em geral, para descrever o ambiente, o enredo e os personagens da história utilizam informações textuais desnecessárias para a resolução matemática. Tais elementos requerem do leitor uma atenção maior para a seleção do que é relevante para obter a resposta do problema. Observe um exemplo:

Horripilante Pânicos é uma assombração. Ela tem um cão fantasma, o Ossinho. Todas as sextas-feiras eles passeiam pelos cemitérios e viram as cruzes das covas. As quintas, assombram os vampiros. As terças, assustam os monstros. No resto da semana eles estão mortos de cansaço e descansam. Em quais dias da semana eles descansam sabendo-se que aos domingos Horripilante lava o seu lençol?²

Outra maneira de propor problemas com excesso de dados é a partir de tabelas, artigos de jornais au revistas, anúncios de vendas e gráficos. Estas são algumas das fontes bastante usadas para organizar e comunicar informações que envolvem muitos dados numéricos e por isso, permitem a formulação de perguntas que requerem a seleção de alguns dos vários dados para a obtenção da resposta. Alguns exemplos:

José controla o número de torcedores que assistem aos jogos de futebol no estádio de sua cidade nos fins de semana. Veja os números do mês de junho:

1º Sábado 12525 1º Domingo 22086 2º Sábado 13467 2º Domingo 34558

3º Sábado 8604 3º Domingo 33421 4º Sábado 11305 4º Domingo 25660

Quantos ingressos foram vendidos no último final de semana? Em qual final de semana o estádio recebeu mais torcedores?

A classe de Caio fez uma votação sobre o sabor de sorvete predileto dos alunos e fez um gráfico com os totais dos votos. Observe o gráfico e responda:

Qual deve ser o título deste gráfico?

Quantos alunos preferem o sabor morango?
Quantos alunos tem a classe de Caio?

Observe este anúncio de supermercado. O que você compraria com 20 reais de modo a gastar o máximo desse dinheiro? Qual seria o troco?

Leia com atenção esta notícia (Revista Época, n. 94, março de 2000) e depois responda:

FRANCES JONES, DE PARIS
Tramas urbanas Londres foi a primeira cidade a adotar o metrô O primeiro metrô do mundo nasceu nos subterrâneos de Londres, em 1863. Hoje tem 401 quilômetros de extensão e reafirma a cada minuto a pontualidade britânica. Sua malha supera em quase cinco vezes as linhas existentes no Brasil.	Antes de Paris, Atenas, Istambul, Budapeste, Glasgow e Viena já operavam trens urbanos. O metrô de Buenos Aires foi o primeiro da América do Sul. Inaugurado em 1913, o sistema argentino surgiu nove anos depois da rede de Nova York. O de São Paulo, um dos mais caros do mundo, começou a funcionar em 14 de setembro de 1974. Mais de 60 anos depois do similar argentino.

1. Quantos anos tem o primeiro metrô do mundo?
2. Segundo a notícia, aproximadamente, quantos quilômetros de metrô o Brasil possui?
3. Em que ano surgiu o metrô de Nova York?
4. Quantos anos o metrô de Nova York tem a mais que o de São Paulo?
5. Qual o significado da frase "reafirma a cada minuto a pontualidade britânica"?

Problemas de Lógica

Estes são problemas que fomecem uma proposta de resolção cuja base não é numérica, que exigem raciocínio dedutivo e que propiciam uma experiência rica para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão e checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e classificação.

O método de tentativa e erro, o uso de tabelas, diagramas e listas são estratégias importantes para a resolução de problemas de lógica. Além da exigência de usar uma dessas estratégias não-convencionais para sua resolução, os problemas de lógica, pelo inusitado das histórias e pela sua estrutura, estimulam mais a análise dos dados, favorecem a leitura e interpretação do texto e, por serem motivadores, atenuam a pressão para obter-se a resposta correta imediatamente.

Exemplos desse tipo de problema sao:

Alice, Bernardo, Cecília, Otávio e Rodrigo são irmãos. Sabemos que: Alice não é a mais velha Cecília não é a mais nova Alice é mais velha que Cecília Bernardo é mais velho que Otávio Rodrigo é mais velho que Cecília e mais moço que Alice. Voce pode descobrir a ordem em que nasceram esses 5 irmãos?

Resposta: Do mais velho ao mais novo: Bernardo, Alice, Rodrigo, Cecília e Otávio.

Mariana tem 3 chapéus, um amarelo com flores, um vermelho e outro azul.

Ela empresta seus chapéus à sua prima Raquel.

Hoje elas foram juntas a uma festa usando chapéus.

Siga as pistas e descubra que chapéu cada uma delas usou.

Quando chove Mariana não usa seu chapéu predileto que é vermelho.

O chapéu com flores não serve para Raquel.

Hoje choveu o dia todo.

Quando Mariana usa seu chapéu amarelo ela não sai com Raquel.

Resposta: Mariana com o chapéu azul e Raquel com o vermelho.

Uma fonte desse tipo de problemas são os almanaques e as revistas infantis, as quais os apresentam como desafios. Algumas sugestões dessas publicações estão no final deste capítulo.

Os tipos de problemas apresentados até aqui foram classificados desse modo porque existem algumas habilidades e funções específicas que não podem deixar de ser trabalhadas para romper com algumas crenças que mudem a postura do aluno diante da resolução de problemas. Existem outras classificações possíveis, que podem ser vistas e trabalhadas, e dentro delas outros tipos de problemas não-convencionais como os que mostraremos a seguir:

Outros Problemas Não-Convencionais

Alguns problemas são mais favoráveis à problematização que outros; no entanto, depende do professor conhecer o potencial do problema para encaminhar os questionamentos de acordo com seus objetivos e o envolvimento dos alunos. Um exemplo é o problema a seguir que, além de ter várias soluções, pode transformar-se em novos problemas interessantes com a alteração de alguns de seus dados.

Preencher as quadrículas da figura abaixo, usando os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, de tal modo que a soma dos números na horizontal, vertical e diagonal do quadrado seja 15.

Em geral, as pessoas buscam imediatamente a solução por tentativas. Porém, como o enunciado é propositadamente impreciso, algumas pessoas não usam todos os números de 1 a 9, repetindo alguns deles; outras demoram a compreender o que foi pedido.

Nesse momento, surge a necessidade de esclarecer o enunciado de modo que todos trabalhem no mesmo problema. Salienta-se, assim, o primeiro passo da resolução de um problema: a compreensão do que é dado e do que é pedido. A seguir, procede-se a análise da solução, questionando-se:

• Esta é a única solução?
• Como ela foi encontrada?
• O que ela tem de característica?

Muitos alunos dizem que a solução não é única e apresentam outras:

O importante é que, ao final da discussão, todos observem que as características das respostas são: o número 5 ocupa o centro do quadrado e, uma vez que esse número esteja colocado, os outros se encaixam; os números pares ocupam os cantos do quadrado e os ímpares estão nas casas intermediárias; dado qualquer um desses quadrados, fica fácil obter os outros, fazendo-se trocas convenientes de posições (rotação dos lados do quadrado).

• É possível discutir o próprio problema proposto, perguntando-se:
• Multiplique os números da primeira linha por 2. O quadrado continua sendo mágico? Por que?
• Se multiplicarmos os números das linhas por 5, o que acontecerá com esse quadrado? Qual será sua soma? Ele será mágico?
• Multiplique cada número do quadrado por uma mesma quantidade. O que acontece com a soma? Ele continua sendo um quadrado mágico?
• Isto também acontece com as demais operações?

Cabe ainda questionar:

• É possível construir quadrados mágicos com outros números?

É interessante observar que a resposta é "sim" e que as justificativas, quando solicitadas, são imprecisas e pouco satisfatórias. Um exemplo é construir um quadrado mágico usando os algarismos de 0 a 8 sem repeti-los:

O que deve ficar claro é a criação de novas questões a partir de uma situação simples, levando a perguntas que talvez não possam ser respondidas em uma abordagem inicial, mas que podem ser retomadas mais tarde.

O professor pode notar que este é um problema que por si só solicita uma estratégia para sua resolução que não é o algoritmo. Ele pode ser um problema de investigação se o professor, através da sua atitude, da sua postura frente ao problema, elabora novas perguntas que conduzem o aluno à busca por novas soluções.

O problema a seguir é o que denominamos de problema de estratégia, pois sua solução depende de combinar as informações do texto de forma adequada:

Um homem precisa levar uma raposa, uma galinha e um cesto de milho até a outra margem do rio. O problema é que ele só pode levar uma dessas coisas de cada vez. Levando o cesto de milho, a raposa comeria a galinha. Se ele levar a raposa, a galinha come o milho. Como você faria para resolver esse problema?

Leva a galinha, porque se levar a raposa a galinha come o milho, depois eu levaria a raposa e a amarraria numa árvore. E por último o milho e não iria deixar a galinha comer o milho. Thiago - 3^a série

Na primeira viagem eu levaria a galinha, porque a galinha não seria atacada e nem comeria o milho. A raposa ficaria amarrada e o milho protegido para ninguém comê-Io. Quando eles chegassem do outro lado da margem o homem amarraria a galinha.

Na segunda viagem eu levaria a raposa e a deixaria bem longe, presa num cercado. E na terceira viagem eu levaria o milho. Carol- 3^asérie

As soluções das crianças são possíveis e interessantes apesar de diferirem da resolução clássica: - na primeira viagem levar a galinha, na segunda levar a raposa e trazer a galinha de volta, na terceira viagem levar o milho e, finalmente na quarta viagem levar a galinha.

Cabe ao professor discutir com os alunos as diversas soluções apresentadas. (ver Capítulo 7)

Nos dois exemplos abaixo, a resolução também depende da escolha de uma estratégia, mas elas são bem diversas da anterior. No primeiro exemplo, é interessante fazer um desenho ou pensar de trás para a frente, isto é, começar do fim da história para o começo. No segundo exemplo, é mais fácil tentar resolver primeiro um problema mais simples com números menores para elaborar um modo de resolver o problema com os números dados.

Um elevador parte do andar térreo. Ao chegar ao 3^o andar, descem 5 pessoas, no 4^o andar descem 2 pessoas e sobem 4, no 7^o andar desce 1 pessoa e sobem 3. No último andar descem 7 pessoas e o elevador fica vazio. Quantas pessoas estavam no elevador no andar térreo quando ele começou a subida?
Resposta: 8 pessoas.
Numa festa estão 10 convidados e todos eles se cumprimentam com um aperto de mão. Quantos apertos de mão serão dados?
Resposta: 45 apertos de mão.

²Extraído de Gwinner, P. "Problemas": enigmas matemáticos. Petrópolis: Vozes, 1990.

Trechos extraídos das páginas 107 à 118 do livro de SMOLE, Kátia S. Ler, escrever e resolver problemas - Habilidades básicas para aprender matemática . Porto Alegre: Artmed Editora, 2001.